《九章》商功章提出了许多多面体体积的算法，并在实际中使用了长方体的体积公式V=abh，对此，刘徽把它看成不言自明而未试图证明。

图3 堑之出入相补

堤、沟、渠是水利设施，堑、城、垣是建筑或防御工事，其横截面都是相等的梯形。设上、下广是a、b，高(深)h，长l，《九章》提出的体积公式是V=½(a+b)hl。刘徽采用出入相补，将其变成宽½(a+b)，长l，高h的长方体证明之(图3)。

图4 堑堵

图5 阳马

堑堵是将长方体沿相对两棱剖开所得的立体(图4)，其体积显然为V=½abh。沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，一部分是底面为长方形，一棱垂直于底面的四棱锥，称为阳马(图5)，《九章》给出其体积公式V=(1/3)abh；一部分为四面都是勾股形的四面体，叫鳖臑〔nao闹〕(图6)，其体积V=(1/6)abh。在a=b=h的情况下，人们用六个鳖臑或三个阳马可拚成一个正方体，上述两个公式是显然的，这是棊(同“祺”)验法。而当a≠b≠h时，棊验法无能为力，必须用无穷小分割方法才能证明上述公式。这是刘徽的重大贡献，将在第十一节中介绍。

图6 鳖臑

方锥的体积与阳马相同(见图7)。今之方台，古代称为方亭。设上方边长a，下方边长b，高h(图8)，《九章》给出的公式是V=(1/3)(a²+b²+ab)h。刘徽又给出等价的公式V=(1/3)(b-a)²h+abh。刍童是草垛，盘池是挖的水池，冥谷是挖的大墓穴，都是上、下底面为长方形的棱台体(图9)。汉代帝王的陵墓都是刍童形。设上底为a₁×b₁，下底为a₂×b₂，高h，《九章》给出的体积公式是V=(1/6)［(2a₁+a₂)b₁+(2a₂+a₁)b₂］h。刘徽又提出两个等价的公式V=(1/3)(a₂-a₁)+(a₂-a₁)h+½(a₂b₁+a₁b₂)h和V=(1/3)［a₁b₁+a₂b₂+½(a₂b₁+a₁b₂)］h。刍甍也是草垛，形状像屋脊(图10)。设底面为a₂×b₂，上长b₁，高h，《九章》给出其体积公式V=(1/6)(2b₂+b₁)ha₂。刘徽又给出等价的公式V=(1/3)(b₂-b₁)ha₂+&frac₁2;b₂a₂h。羡〔音yan，通埏〕除是墓道，它是一种三面为等腰梯形(其中两面互相垂直)而两侧面为三角形的楔形体(图11)。设其三广为a、b、c，高h，长l。

图7 方锥

图8 方亭

图9 刍童

图10 刍甍

图11 羡除

《九章》给出其体积公式是V=(1/6)(a+b+c)hl。对这些立体的特殊情形，刘徽之前都用棊验法，而对一般情形，棊验法亦无能为力。刘徽将它们分解成有限个长方体、堑堵、阳马、鳖臑，求其和而证明之。刘徽所补充的上述公式就是由此得出的。

显然，复杂多面体体积的解决都要归结到阳马、鳖臑，正如刘徽所说：“不有鳖臑，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也。”(《九章算术·商功章注》)中国古代的多面体体积理论，由《九章》提出公式，刘徽完成证明，可以说基本完备。祖冲之父子可能将其推进到隋唐数学家看不懂的地步，由于《缀术》失传，其详情不得而知。就现有资料看唐宋无大的突破。唐初王孝通解决土木工程中更复杂的体积计算问题，都是《九章》已经讨论过的多面体或其组合。《九章》的堤上下两底平行，王孝通解决了一种上下底不平行的堤防，如图12，它可以分解成一个堤与一个羡除，那么，其体积就是两者体积之和。金元治河著作《河防通议》给出其体积公式V=(1/6)［(2h₁+h₂)(a+b₁)/2+(2h₂+h₁)(a+b₂)/2］其中a为上底面广，l为长，h₁、h₂分别为两头之高，b₁、b₂分别为两头下广。

图12 堤防