《九章》勾股章提出了若干已知勾股形三边中二者的和差等因素，求其边长的例题。赵爽、刘徽、贾宪先后作了进一步的发展，提出了一般性的公式及其证明。

国内外流行的印度莲花问题实际上是《九章》“引葭赴岸”题的改写。此题是：有一水池，方1丈，一株葭〔jia佳，初生的芦苇〕生在中央，高出水面1尺，引葭赴岸，恰恰与岸边相齐。问水深、葭长各多少？如图15，刘徽指出，水池边长的一半为勾a，水深为股b，葭长为弦c，葭高于水面者是弦股差c-b，这是已知勾与弦股差，求股、弦的问题：

b=［a²-(c-b)²］/［2(c-b)］，

c=(c-b)+b。

图15 引葭赴岸

图16 竹高折地

1989年语文高考试卷有一古文今译题便采自《九章》勾股章“竹高折地”问：今有一株竹高1丈，被折断，末梢抵地，抵地处距竹根3尺，问剩余高多少？如图16，刘徽指出，抵地处至竹根距离是勾a，剩余的高是股b，折断部分是弦c，则竹高就是股弦和c+b，此是已知勾与股弦和，求股的问题：b=［(c+b)²-a²］/［2(c+b)］。

这两类题目互相返覆，刘徽以出入相补原理证明之。

有一门户，高比宽多6尺8寸，两角相距1丈。问此门户高、宽各多少？刘徽认为，将户宽作为勾a，高为股b，两角相距为弦c，那么这是一个已知弦c与股勾差b-a，求勾、股的问题。《九章》的解法经刘徽改写成

刘徽的出入相补证明方法是：以勾股和b+a为边长作正方形，称为大方，面积(a+b)²；在其内部作一中方，其顶点在大方每边a、b的分点上，其边长自然为c，面积c²；在中方内部作四个以a、b、c为边长的勾股形，每一个面积为½ab，称为朱幂。中方除去四个勾股形，余一个以b-a为边长的正方形，称为黄方，面积为(b-a)²，如图17，大方有八个朱幂，一个黄幂，中方有四个朱幂，一个黄幂，因此，中方减去半个黄幂等于半个大方：½(b+a)²=c²-½(b-a)²，¼(b+a)²=½［c²-½(b-a)²］，于是，而由a=½(b+a)-½(b-a)，b=½(b+a)+½(b-a)证明了上述公式。

图17 已知弦与股勾差求勾股的证明

有一门户不知高、宽，有人持一竹竿，不知长短，横着出门，长了4尺，竖着出门，长了2尺，斜着恰好能出门。问门的高、宽、斜各多少？刘徽把门户的高、宽、斜分别作为勾、股、弦，此题是已知弦勾差c-a、弦股差c-b，求勾、股、弦的问题。《九章》给出的公式是：

图18 已知弦勾差弦股差求勾股弦的证明

为了证明这些公式，刘徽首先指出了在弦幂中勾幂与股幂的相互位置，或矩于表，或方于里：若股幂为方形，则勾幂作为勾矩居于股方之表，如图18(1)；反之亦然，如图18(2)。刘徽将其中一个图形旋转180°，与另一个重合，则成为图18(3)的情形。勾矩c²-b²与股矩c²-a²的面积之和应为弦幂c₂。在图中，这两者在两角重合于两个以c-b为宽、c-a为长的长方形，其面积为2(c-a)(c-b)。而弦幂中却有一个以a+b-c为边长的小黄方未被勾矩与股矩填满。显然，小黄方的面积(a+b-c)²应等于2(c-a)(c-b)，开方由

a=(a+b-c)+(c-b)，

b=(a+b-c)+(c-a)，

c=(a+b-c)+(c-b)+(c-a)

便证明了上述三式。

北宋贾宪把《九章》解勾股形的四个类型的方法抽象成一般性公式。杨辉又进而总结出a、b、c、c±a、c±b、b±a、a+b±c、c±(b-a)13种关系及变成b-a、c-b、a+b-c的段数，称作“勾股生变十三名图”。这13种关系包括了勾股形中勾、股、弦及其和、差的全部可能的关系，对勾股理论起着提纲挈领的作用。