第五章 勾股测望 第三节 勾股容方与容圆

勾股容方与容圆是《九章》勾股章的两个题目。前者是:已知勾股形勾5步,股12步,问所容正方形边长多少?《九章》的公式是d=ab/(a+b)。后者是:已知勾股形勾8步,股15步,问其中容圆之径多少?《九章》的公式是d=2ab/(a+b+c)。对这两个问题,刘徽都提出了两种方法证明之。以容圆为例。将勾股形从圆心分成朱、青、黄各部分,如图19(1),将四个这样的勾股形拚成以d为宽,以a+b+c为长的长方形,如图19(2),其面积为2ab,因此d=2ab/(a+b+c)。这是出入相补的方法。另一种方法是过圆心作一中弦平行于弦,中弦与勾、股及垂直于勾、股的半径形成两个小勾股形,如图19(3)。考虑其中一个,比如股上的小勾股形,设三边为a1、b1、c1,显然a1+b1+c1=b,而a1:b1:c1=a:b:c,因此可用衰分术:a1=ab/(a+b+c)。而d=2a1=ab/(a+b+c)。刘徽还提出等公式。


图19 勾股容圆


图20 圆城图式

勾股容圆在宋元时代成为重要的研究课题。人们考虑了各种容圆问题。元李冶便在洞渊九容基础上演绎出《测圆海镜》,除《九章》的容圆外,还有(见图20):圆心在勾上且切于股、弦,称为勾上容圆,其直径d=2ab/(a+b),同样,股上容圆d=2ab/(a+c),弦上容圆d=2ab/(a+b);圆心在勾股交点切于弦,叫勾股上容圆,d=2ab/c;切于勾及股、弦的延长线者称为勾外容圆d=2ab/(b+c-a),同样,股外容圆d=2ab/(a+c-b),弦外容圆d=2ab/(a+b-c);圆心在股的延长线且切于勾、弦的延长线叫勾外容半圆,d=2ab/(c-a),同样,股外容半圆d=2ab/(c-b)。以上共10种容圆关系,“洞渊九容”指哪9种,清代以来诸说不一。清李善兰又补充了勾弦上容圆d=2ab/b,股弦上容圆d=2ab/a,弦外容半圆d=2ab/(b-a)。这13种容圆直径的分母恰恰对应于杨辉的勾股生变13名图的各种关系,分子都是2ab。