第六章 线性方程组解法 第二节 方程术

线性方程组解法,《九章》称为方程术,刘徽指出这是一种普遍方法,只是方法太复杂,才借助禾实来阐述。方程术的核心是通过直除法消元,逐步减少未知数的个数及方程的行数,最终消成一行一个未知数,然后再求第二、第三个未知数。所谓直除即直减:要消去乙行某未知数系数,便用甲行同一未知数的系数乘乙行所有的数,然后用甲行一次次对减乙行,直至乙行该系数为零。刘徽认为,用甲行某未知数系数乘乙行是齐,即使乙行所有项与欲消去的项相齐;用甲行对减乙行至该系数为零止是同,即使甲、乙两行的该未知数系数相同。就是说,直除法符合齐同原理。刘徽进而指出,“举率以相减,不害余数之课也。”(《九章算术·方程章注》)就是说,以方程的整行与另一行相减,不影响方程的解。这是方程消元法的理论基础。我们以《九章》方程章第1问为例说明之,并改用阿拉伯数字。以(1)式x的系数3乘(2)式各项,得

6x+9y+3z=102  (4)

以(1)式两次减(4)式,得

5y+z=24,  (5)

以(1)式x的系数3乘(3)式,得

3x+6y+9z=78,  (6)

以(1)式减(6)式,得

4y+8z=39,  (7)

其方程如(b)所示。以(5)式y的系数5乘(7)式,得20y+40z=195,以(5)式四次减之,得36z=99,以9约之,得4z=11。

其方程如(c)所示。然后,用代入法,将中行与右行分别化成4y=17,4x=37,其方程如(d)所示。于是。可以看出,上述运算完全符合现代数学的矩阵理论:

《九章》方程术是世界上最早最完整的线性方程组解法。在国外,它最早出现在7世纪初印度婆罗门笈多(约公元598-?)的书中。在欧洲,则是法国数学家布丢在1559年提出的,比《九章》晚七八百年到1700年。