第八章 天元术与四元术 第二节 天元术

天元术的基本思想是:首先立所求的量为天元一,根据问题的条件给出两个等价的天元式,使两个天元式相减,便得到一个开方式,即一个方程式。后面这个过程叫做如积相消。而如积释锁则包含了列方程、解方程的完整过程。显然,立某量为天元一相当于今天的设某某为未知数x,天元式相当于今天的含未知数的多项式。如按《测圆海镜》的记法便表示多项式x4-332x3+27556x2。我们以《测圆海镜》卷七第2问为例展示天元术。此题是:

假令有圆城一所,不知周径。或问丙出南门直行一百三十五步而立,甲出东门直行十六步见之。问径几何?又法曰:二行相乘得数,又自之,为三乘方实。并二行步,以乘二行相乘数,又倍之为从。二行相并数以自乘于上,又二行相减数自乘减上位为第一廉。第二廉空。一益隅。益积开之得半径。

如图32,设南行EA为k,东行FB为l,则此即要求解方程-x4+4klx2+2kl(k+l)+(kl)2=0


图32 测圆

李冶用天元术推导这个四次方程的方法是:

草曰:立天元一为半城径,副置之。上加南行步得为股,下位加东行步得为勾。勾股相乘得为直积一段,以天元除之得为弦。以自之,得为弦幂,寄左。乃以勾自之,得,又以股自之,得,二位相并得,为同数。与左相消,得。开益积三乘方,得一百二十步,即半城径也。

这段文字用现代符号翻译出来就是:设x为圆城半径OC。x+k为股OA,x+l为勾OB。由于AB·OC=OA·OB,即AB·x=(x+k)(x+l),故弦AB=(x+k)(x+l)/x=[x2+(k+l)x+kl]/x=x+(k+l)+klx-1,AB2=[x+(k+l)+klx-12=x2+2(k+l)x+k2+l2+4kl+2(k+l)klx-1+(kl)2x-2又AB2=OA2+OB2=(x+k)2+(x+l)2=2x2+2(k+l)x+k2+l2,两者相减,两端乘以x2,即得上述开方式。

由此可见,在李冶时代已完全掌握了天元多项式的加、减、乘法及除数为天元单项式的除法,掌握了指数的乘除法运算及合并同类项等运算。由于天元式的表示采取位置值制,故乘除数为天元幂的乘除法,只要上下移动“元”字或“太”字即可。