第十一章 无穷小分割思想 第二节 圆周率

刘徽指出,上述圆面积公式中的周径“谓至然之数,非周三径一之率也。”因此,需要求这个至然之数,这个至然之数就是圆周率。假定圆直径为2尺,他仍按照上述割圆程序割圆,并利用圆内接正6边形边长等于圆半径的性质及勾股定理,算出正6边形的边心距,进而求出余径r0,再次运用勾股定理,算出正12边形的边长p1,重复刚才的过程,依次计算出圆内接正12、24、48边形的边心距、余径、边长,96边形的边长、面积及192边形的面积:

S5=314(64/625)寸2,S5-S4=(105/625)寸2,S4+2(S5-S4)=314(169/625)寸2,因此,确定341寸2为圆面积近似值。利用已经证明过的圆面积公式,314=10·½L,L=62(8/10)(寸),与直径20寸相约,得L:d=157:50,相当于π=157/50=3.14。许多学者认为刘徽在求得S=341寸2之后,利用S=πr2求得π=3.14,这是错误的。在计算圆周率时,刘徽并未证明S=πr2。恰恰相反,刘徽用π=157/50将与S=πr2相当的公式S=¾d2修正为(157/200)d2。那种错误理解会把刘徽置于他从未犯过的循环推理错误之中。

刘徽认为π=157/50中,周率仍微少,又求出π=3927/1250。

南朝祖冲之进一步将π值精确到8位有效数字,相当于求出3.1415926<π<3.1415927。据推测,祖冲之是用刘徽割圆术求得上述值的,那么祖冲之要计算6144、12288边形的面积S10=314159251厘2、S11=314159261厘2、S10+2(S11-S10)=314159271厘2。祖冲之进一步确定π=355/113为密率,π=22/7为约率。约率早被古希腊阿基米德所认识,在中国,南北朝刘宋的何承天也知道这个值。而密率则是个空前的创造,这是分母小于16604的一切分数中最接近π的真值的分数。祖冲之的圆周率值在世界上领先千年左右。1427年阿尔·卡西的圆周率精确值超过了8位有效数字。16世纪末德国奥托、荷兰安托尼兹先后提出了π=355/113。